一元二次方程求根公式(一元二次方程的解法之公式法)
一元二次方程求根公式(一元二次方程的解法之公式法)
一、引入
对于一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)，我们尝试采用配方法求解：
00:00
/
09:42
二、公式法及其两个用途
通过上面解一元二次方程的一般式ax²+bx+c=0(a≠0)，当b²-4ac≥0时，方程有解，那么解出来的根一定是：
这个叫做
求根公式
我们发现，任何一个一元二次方程的根只和系数a，b，c有关，也就是说只要确定了系数，就可以得到方程的根，这就是公式法的
第一个用途
——
根据系数直接确定方程的根
另外我们发现：
当b²-4ac>0时，方程有两个不等实根
当b²-4ac=0时，方程有两个相等实根
当b²-4ac<0时，方程无实根
我们经常
把△=b²-4ac叫做根的判别式
(△是希腊字母，读作“德尔塔 Delte”)
，利用它我们可以
判别一元二次方程根的个数
，这也是
公式法的第二个用途
。
三、利用公式法求解的一般步骤
【公式法法求解的一般步骤】：
①将方程化为一般形式
②确定a，b，c的值
③判断△=b²-4ac的符号
④
当b²-4ac≥0时(有实根)
，我们将a，b，c代入得到方程的两个根
当b²-4ac<0时(无实根)
，我们
直接判定方程无实根
【理解】
1、在利用(代入)求根公式之前，要有两个
准备工作
：
一是必须先把方程化为一般式
，因为只有这样才能确定a，b，c
二是判定△=b²-4ac的符号
，当△≥0时才能代入求根公式，而当△<0时，直接得到方程无实根即可
2、由于在判断
△
符号的过程中，已经把
△
的值求出，所以在后续的求解中，直接代入即可。另外
当△=0时，求根公式中的根号部分为0，此时直接代入x=-b/2a即可
3、我们发现，对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，
当a、c异号时
即ac<0时，
△
=b²-4ac中b²≥0，-4ac>0，所以此时一定有
△
>0，即
方程有两个不等实根
，如例题中的方程5x²-4x-1=0，由于a、c异号所以方程必然有两个不等实根，这在做小题时，是个不错的技巧
四、练习题
1、用公式法解方程：
（1）x²+3x-4=0
（2）x²-2x+5=2x+4
2、填空
（1）快速判断：方程x²-4x-1=0_______实数根(填"有两个不等"、"有两个相等"或"无"）
（2）已知关于x的一元二次方程x²-kx+4=0有两个相等的实数根，则k=_____
（3）若关于 x的一元二次方程2x²-2x+(a+1)=0没有实数根，则整数a的最小值为__________.
【参考答案】
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